9.3.5             Perturbaciones que dependen de la excentricidad de la órbita

lunar

 

Para estudiar las variaciones que dependen de la excentricidad e de la órbita de la Luna utili­zaremos, como indicamos en 9.3.3, la función perturbatriz R que sustituiremos en las ecuaciones de Gauss (119.8) adecuadas a nuestro caso. Supondremos nula la inclinación de la órbita y despreciaremos los términos en el cuadrado de la excentricidad, con lo que dichas ecuaciones tomarán la forma:

        

                                                                         (111.9)

 

Los únicos términos de la función perturbatriz que intervienen en las derivadas de e y de w son los que contienen uno u otro de estos dos elementos. Por tanto, a partir de (76.9) escribiremos:

 

         (112.9)

 

En el desarrollo que utilizaremos sólo considera­remos los términos no periódicos y los de periodo muy largo que son los que separan al máximo el cuerpo perturbado de su lugar medio.

El periodo de los términos en Mes próximo a un mes. El de los términos en 2s - Mtambién es próximo a un mes ya que 2s -M= 2(n-n)t-nt = nt-2nt y teniendo en cuenta que /día y /día, la diferencia es de 11º/día ; por tanto 360º/11º32 días. El periodo de los términos en 2M es de aproximadamente 14 días. Los de los términos en 2s + M y en 2(s + M) son respectivamente de unos 9 y 7 días. Veamos cual es el del término 2(s - M):

 

             

 

Si suponemos fijo el perigeo de la Luna, el periodo es de seis meses, o sea, mucho mayor que los otros.

Limitaremos,            pues, la función perturbatriz a los siguientes términos:

 

            (113.9)

 

            Sustituyendo esta expresión de R en las ecuacio­nes (111.9) tendremos:

                                                                                               (114.9)

puesto que  al no figurar en (113.9) la longi­tud de la Luna. Esto nos dice que el semieje mayor no sufre perturbaciones que dependan del argumento

2(s -M).

                                                             (115.9)

                                                      (116.9)

 

a) Movimiento secular del perigeo: Para estudiar el mo­vimiento del perigeo pongamos

                                           

y derivemos respecto al tiempo teniendo en cuenta (116.9):

                                                    

       (117.9)

Integremos efectuando el cambio de variable tanj = x y haciendo ; tendremos:

                      

y sustituyendo en (117.9):

 

                     

de donde:

                         

 

e integrando

           

Luego,

                                 (118.9)

Hagamos

           

             

 

Sustituyendo en (118.9) queda:

tanj = q tany

lo cual implica

           

                                                                     (119.9)

 

siendo el primer término despreciado en sen 4y.

Podemos escribir, pues, la expresión que da la longitud del perigeo de la siguiente forma

                   

o también:

                       

y haciendo

                           

 

sustituyendo el valor de p y agrupando los términos en t, queda finalmente:

 

        (120.9)

 

Vemos pues que el perigeo presenta un movimiento secular cuya velocidad angular media es

 

                                    

 

o, lo que es lo mismo:

 

                                                   (121.9)

 

expresión aproximada que da para el movimiento medio del perigeo el valor de 351 siendo el valor observado de 401.

El desarrollo de (121.9) es

 

                         

 

siendo la serie dada por Delaunay:

 

     

 

cuya suma es 400.4688.

Si se tienen en cuenta otros términos que dependen de las excentricidades y de las inclinaciones se halla m = 400.9167 con un periodo de revolución de 8 años 310 días.

b) Movimiento periódico del perigeo: La longitud del perigeo que acabamos de obtener (120.9) contiene un término periódico cuyo argumento y es la parte secular del ángulo j (119.9). Si designamos por wm la longitud media del perigeo y despreciamos la excentricidad de la órbita terrestre, podemos escribir (120.9) de la forma:

 

                                                   (122.9)

 

El coeficiente de la desigualdad es

           

                                                                       (123.9)

Sustituyendo p por su valor  y desa­rrollando en serie encontramos, en nuestro estudio, que sólo el primer término es válido

 

                                         

 

El valor de a es de 8º.7 y el periodo de la desigualdad es de 205.89 días.

c) Variaciones de la excentricidad: Para poner en evi­dencia la desigualdad correspondiente de la excentrici­dad partamos de las ecuaciones (115.9) y (116.9). Teniendo en cuenta que estamos haciendo j = q - w, podemos escribir

 

                                

 

y, por tanto, sustituyendo en (116.9):

 

                             

 

o también:

                                                         (124.9)

 

y dividiendo (115.9) por (124.9) se obtiene 

 

                                                               (125.9)

 

ecuación diferencial a variables separables que se integra inmediatamente, teniendo en cuenta que, a menos de un factor -2 el numerador es la derivada del denominador. Por tanto:

 

                        

 

es decir,

                             

 

siendo K una constante.

Recordando (124.9) esta expresión de e puede escribirse, elevando al cuadrado,

                                           

 

y como que según (119.9) y (123.9) es

 

                                      

es

                                

con  constante. Luego, podemos escribir

                                

o sea

                                                                   (126.9)

con

                                       

 

Desarrollando (126.9) obtenemos:

 

                                (127.9)

 

Siendo la excentricidad media e0 = 0.0549, la excentricidad e varía entre

 

e0 (1- a) = 0.0448       y        e0 (1+ a) = 0.0650

 

d) Ecuación del centro. Evección : De (122.9) y (127.9) deducimos que la órbita está definida por las dos relaciones siguientes:

 

                                                        (128.9)

 

no siendo perturbado el eje mayor a’ (114.9).

Calculemos ahora la ecuación del centro de esta órbita deformable. Sea M’p la anomalía media perturbada de la Luna:

 

                                                                   (129.9)

 

donde

     

 

o también

                                                                          (130.9)

 

donde M’ es la parte secular de M’p:

 

                                

De (130.9) deducimos:

 

                                                                  (131.9)

 

y llevando los valores de ey senMp a la expresión (129.9) obtenemos:

 

     

 

de donde, despreciando los términos de segundo orden

 

           

 

El término senM representa la ecuación del centro en una órbita elíptica de magnitud invaria­ble (primer término del desarrollo de la ecuación del centro), en la que la línea de los ápsides giraría uniformemente en sentido directo con velocidad angular m. El término a sen(M-2y)   representa una desigualdad que se suma a la ecuación del centro y que depende del seno del argumento M-2y; recibe el nombre de evección y su descubrimiento se atribuye a Ptolomeo. Teniendo en cuenta el significado de M-2y vemos que el tiempo interviene en la ecuación bajo el factor

 

n-2n +m = 40739.42

 

correspondiendo a un periodo de 31.81 días.

El coeficiente de la evección es

 

                                 

 

cuyo valor es de 57.4.

La serie obtenida por Delaunay es 

 

    

 

cuya suma es 1º 16 26.

La ecuación del centro es (recordar 4.7.1)

 

       

 

Obsérvese que los coeficientes son grandes debido a qué la excentricidad es relativamente grande.

e) Reduccíón a la eclíptica: No es propiamente una perturbación sinó una reducción, análoga a la reducción al ecuador (4.7.2), que fue introducida en la teoría de la Luna por Tycho Brahe y que expresa la diferencia entre la longitud celeste y la longitud sobre la órbita. Viene dada por

 

                      

 

donde l es la longitud celeste, i la inclinación de la órbita de la Luna sobre la eclíptica y h el argumento de latitud L - W.

Resumimos a continuación los resultados obtenidos que afectan a la longitud:

 

aceleración secular

ecuación del centro

variación

desigualdad paraláctica

ecuación anual

evección

reducción  a la eclíptica

 

 

 

 

 

 

9.3.6             Desigualdades que dependen de una perturba­ción ortogonal al

plano orbital de la Luna

 

Hasta ahora hemos supuesto la fuerza perturbatriz sobre el plano de la órbita lunar; pero, en realidad está situada en el plano que contiene los centros del Sol, de la Tierra y de la Luna. Admite pues, además de las componentes S y P , una componente T perpendicular al plano de la órbita.

En la expresión (60.9) de la fuerza perturbatriz  intervienen dos términos el primero de los cuales representa un vector dirigido según el radio vector de la Luna y el segundo un vector paralelo al radio vector Tierra-Sol. Recordemos que, tomando el sentido positivo hacia el Sol, este último es

                       

                                                                                                    (132.9)

y su módulo

                                                                           (133.9)

 

Si limitamos el desarrollo (133.9) a su primer término y despreciamos las excentricidades este módulo es

 

                                           

(As, r’a’, ).

La proyección sobre la normal al plano de la órbita es la componente ortogonal buscada.

 

 

image154

FIG. 12.9

 

 

Representemos sobre la esfera celeste la eclíptica E, la órbita de la Luna L, el Sol S, el nodo ascendente de la órbita de la Luna N y el polo norte PL del plano de la órbita de la Luna (Fig.12.9).

Pongamos

NL=h

 

y sean, por otra parte, i la inclinación de la órbita de la Luna sobre la eclíptica, W la longitud del nodo y s la distancia SL. En primera aproximación tendremos:

 

 

La componente ortogonal T tiene por expresión

 

                                

 

(el signo menos indica que se proyecta hacia la parte negativa de la normal).

Ahora bien,

 

sen SS = sen isen NS = sen isen ( h-s )

 

luego,

 

             

 

Es decir:

                                                (134.9)

 

 FIG. 13.9

 

Veamos cua­les son los efectos de una pertur­bación ortogonal instantánea. Supon­gamos que la órbita de la Luna es circular. Sea  la velo­cidad de la Luna en su órbita y compongamos esta velocidad con .La velocidad resultante, que representa la velocidad perturbada  continúa siendo perpendicular al radio vector  y forma con  un ángulo dw. La perturba­ción hace girar el plano de la órbita, alrededor de , un ángulo dw; el nodo pasa de N a Ndesplazándose dW y la inclinación de la órbita varía en di.

Por ser dw muy pequeño podemos escribir

           

                                                                       (135.9)

 

donde Tdt y V son los módulos de  y .

Por otra parte, sean PL y PL los polos de las órbitas lunares no perturbada y perturbada y Pe el polo de la eclíptica. En el triángulo  se verifica:

                                  

                                                                                (136.9)

 

de donde

                                     

 

y teniendo en cuenta (135.9)

                                     

 

Sustituyendo T por su valor (134.9):

           

                    

 

y desarrollando y operando el segundo miembro:

 

                                (137.9)

 

Análogamente, a partir de la segunda ecuación de (136.9) obtenemos:

 

                       

 

o también, operando el segundo miembro:

           

                               (138.9)

 

Recordando el significado de los distintos argumentos, las ecuaciones diferenciales (137.9) y (138.9) se pueden escribir también en la forma:

 

    (139.9)

 

El periodo de los términos en  es del orden de 6 meses y es el más largo. Los términos en  tienen un periodo igual a la semirrevolucion sinódica y el de los términos en  es de una semirrevolución draconítica.

Consideraremos sólo los términos de periodo largo y escribiremos:

 

                    (140.9)

 

a) Movimiento del nodo: La primera de las ecuaciones (140.9) es del mismo tipo que la (116.9); por tanto, podemos utilizar para integrarla el mismo procedimiento que utilizamos allí haciendo ahora . Hallaremos para la longitud del nodo:

 

   (141.9)

 

con

                                             (142.9)

 

El movimiento medio sidéreo del nodo es, en primera aproximación

 

                       (143.9)

 

serie cuya suma es -193.8. El valor observado es de -190.77.

La serie obtenida por Delaunay es:

 

 

La longitud del nodo afectada de su principal desigualdad es

 

                                                                           (144.9)

 

donde  Wm es la longitud media y .

El periodo de esta desigualdad es de 173.31 días y su semiamplitud es, teniendo en cuenta el valor de p:

 

                           

 

b) Desigualdades de la inclinación: Para estudiar las desigualdades de la inclinación partamos de la segunda ecuación de (140.9) y del valor de dj/dt que se de­duce de hacer . Tendremos

 

                                                        (145.9)

 

Eliminando dt entre estas dos ecuaciones resulta

 

                            

 

ecuación diferencial a variables separables que podemos resolver haciendo

 

                          

 

Es decir,

                              

 

ecuación del mismo tipo que la (125.9) cuya integral es, una vez restablecido el valor de la variable,

 

                 

 

Vemos pues que la inclinación está afectada de una desigualdad del mismo periodo que el nodo, 173.31 días, y su semiamplitud es b sen  = 8.2.

 

 

9.3.7 Desigualdades de la latitud celeste de la Luna

 

Calcularemos la latitud celeste de la Luna mediante la ecuación

 

                                                                   (146.9)

 

la cual contiene las desigualdades correspondientes a la longitud de la Luna y las desigualdades correspon­dientes al nodo y la inclinación.

Despreciemos las desigualdades de la inclinación y del nodo y pongamos

 

                                                                                (147.9)

 

donde h crece uniformemente con el tiempo y  repre­senta las desigualdades periódicas de la longitud de la Luna y se escribe

 

                                                                                     (148.9)

 

siendo l una función lineal del tiempo y k una cons­tante.

De (147.9) deducimos

 

 

y sustituyendo en (146.9), teniendo en cuenta (148.9) y operando, obtenemos:

 

               (149.9)

 

forma general del desarrollo del seno de la latitud supuesto fijo el plano de la órbita.

Las desigualdades de la latitud que se obtienen como consecuencia de las del nodo y de la inclinación son pequeñas a excepción de la que recibe el nombre

de gran desigualdad de la latitud . Si el plano de la órbita no sufre otra perturbación que la retrogradación del nodo, salvo desigualdades periódicas, la latitud toma el valor

 

                                                             (150.9)

 

Desarrollando en serie (146.9) y (150.9), tomando solamente los términos de primer orden en  y restando obtenemos:

 

 

 

y sustituyendo las desigualdades por sus expresiones

se obtiene:

              (151.9)

 

            El tercer término de esta expresión (151.9) contiene únicamente el argumento de latitud de la Luna L-Wm y puede englobarse en la inclinación siendo este valor corregido de  el que se determina por observación. Los otros dos términos de (151.9) son términos semejantes y por tanto se pueden sumar. La parte secular de su argumento es

 

                                  

 

Luego, el desarrollo de B es:

 

                                        (152.9)

 

Vemos pues que aparece una desigualdad de la latitud celeste cuya amplitud es de 17 38.

Si se tiene en cuenta que L está afectada por la variación puede escribirse

                            

 

valor que afecta al desarrollo de la latitud (152.9), obteniéndose la gran desigualdad de la latitud en la forma:

 

                   

 

El tiempo interviene en su argumento con el coefi­ciente

 

 

que corresponde a un periodo de 32.28 días. La ampli­tud de la gran desigualdad es de 21 10.

 

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