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8.6 Perturbaciones debidas a la presión de radiación solar

Estudiaremos ahora las perturbaciones que sobre los elementos orbitales de un satélite artificial produce la presión de radiación solar directa, fenómeno que hay que tener en cuenta cuando se utilizan satélites con elevada superficie respecto a la masa. Despreciaremos la radiación reflejada procedente de los planetas (sobre todo de la Tierra) y de la Luna.

Se sabe que a una altitud de 800 km los efectos de la presión de radiación solar directa y la resistencia de la atmósfera sobre un satélite artificial de la Tierra son del mismo orden. Es más, para las temperaturas usuales exosféricas y por encima de los 800 km los efectos de la presión de radiación son mayores que los de la resistencia de la atmósfera para satélites que se mueven en órbitas circulares.

Para un estudio más preciso de la evolución orbital y para satélites en órbitas muy excéntricas, los dos efectos deberán ser considerados simultáneamente.

Sea la fuerza por unidad de masa debida a la presión de radiación solar directa. Llamemos al vector de posición geocéntríco del Sol y al vector de posición geocéntrico del satélite. De la Fig. 8.8 se deduce que la fuerza perturbatriz se podrá expresar de la forma

(50.8)

y puesto que r es siempre mucho más pequeño que r₀ se podrá escribir

(51.8)

con y (vector unitario Tierra - Sol) siendo

(52.8)

donde k es un factor que depende del albedo y de la forma del satélite (k = 1 para una esfera perfectamente reflectante), s es la sección recta del satélite, m su masa y q₀ se toma igual a 4.65x10^-5dinas suponiendo constante la distancia geocéntrica del Sol y la intensidad de la radiación solar a esta distancia.

El vector , unitario en la dirección del Sol, varía con la posición relativa del Sol respecto a la Tierra; pero, en primera aproximación, podemos suponer que durante una vuelta del satélite se mantiene constante. En efecto, en un día un satélite geodésico da ocho vueltas a la Tierra y el Sol recorre aproximadamente 1º en su movimiento ánuo aparente alrededor de la Tierra. Por tanto, en una vuelta del satélite, el Sol se habrá desplazado sólamente 1/8 de grado y, en consecuencia, podemos despreciar el movimiento del Sol. Luego, según (51.8) y (52.8) será una fuerza de módulo y dirección constantes a lo largo de un periodo.

Resolveremos este caso en el sistema P,Q,R (3.11.3) y utilizaremos la fórmula

(53.8)

Las componentes de en el sistema P,Q,R serán

(54.8)

y, por consiguiente, las de :

(55.8)

8.6.1 Ecuación de sombra

Al aplicar la fórmula (53.8) tendremos en cuenta que responde al caso en que el satélite permanece siempre iluminado; pero, si el satélite penetra en el cono de sombra de la Tierra, mientras permanece eclipsado la presión de radiación no actúa sobre él y, por consiguiente, su movimiento no se ve perturbado por esta causa. Es preciso pues calcular cuando se producirá un eclipse. Como que la distancia del satélite a la Tierra es mucho más pequeña que su distancia al Sol, podemos suponer que la Tierra proyecta un cilindro de sombra en lugar de un cono (Fig. 9.8). Llamando al radio de la Tierra, en el instante de entrada o salida del satélite del cilindro de sombra tendremos:

y como que y son perpendiculares:

o sea:

Por otra parte, el módulo de es y, por tanto:

Luego

(56.8)

Efectuando el producto escalar de r por u queda:

(57.8)

Recordemos que una posición cualquiera del satélite en el sistema P,Q,R es

Por tanto,

Luego, la condición de entrada en el cilindro de sombra será, según (57.8):

(58.8)

ecuación de cuarto grado en cos E. Al resolverla podemos distinguir dos casos:

a) Las cuatro soluciones son imaginarias: el cilindro de sombra no corta la órbita del satélite.

b) Las cuatro soluciones son reales: hemos de buscar las dos soluciones que corresponden a la sombra para las cuales el satélite queda eclipsado; dicho de otra forma, la Tierra queda entre el Sol y el satélite ().

Un posible caso intermedio, con dos soluciones reales y dos imaginarias, no se puede dar si consideramos un cilindro de sombra:

Si A es el punto de entrada en la sombra, existirá un punto de salida B y forzosamente existirán los puntos C y D de entrada y salida de la parte iluminada del cilindro (Fig. 10.8). Por otro lado, si el satélite no entra en la zona de sombra, tampoco entrará en la parte iluminada del cilindro de sombra y permanecerá siempre iluminado.

8.6.2 Cálculo de las perturbaciones debidas a

Una vez hallados los valores E₁y E₂de la anomalía excéntrica correspondientes a los puntos de entrada y salida de la sombra, ya podremos integrar utilizando (53.8) en el caso a). En el caso b) distinguiremos dos subcasos que dependen de la posición del periastro con respecto a la sombra:

1) Si el periastro queda fuera del cilindro de sombra (Fig. 11.8), es E₁ < E₂y efectuaremos la integración según el siguiente esquema:

(59.8)

2) Si el periastro queda dentro del cilindro de sombra (Fig. 12.8), es E₂< E₁y el esquema según el cual efectuaremos la integración es ahora:

(60.8)

Comparando (59.8) con (60.8) observamos que, en general, podemos escribir:

(61.8)

donde toma el valor 1 si el perigeo está fuera del cilindro de sombra y 0 si está dentro.

Partamos ahora de las ecuaciones de Gauss e integremos según el esquema propuesto, para lo cual las expresaremos en función de E y sustituiremos las componentes f_S, f_Q, f_R que aparecen en ellas por f_P, f_Q, f_R siendo