8.2
Ecuaciones de Gauss
Deduciremos las ecuaciones de Gauss
a partir de las integrales del movimiento.
Sean, en el sistema S,T,R:
En el caso kepleriano, la ley de las
áreas toma la forma 
. En nuestro caso, 
no es constante. Su
variación será:
por tanto:
(9.8)
Por otra
parte:
(10.8)
e
identificando (9.8) y (10.8)
resulta:
(11.8)
o sea,
teniendo en cuenta (8.8):
(12.8)
Multiplicando la primera de (12.8) por sen u y la segunda por cos u, sumando y
sustituyendo por la primera de las (11.8), obtenemos:
(I)
Multiplicando ahora la primera de (12.8) por cos u y la segunda por sen u, restando y
sustituyendo luego por la primera de las (11.8):
(II)
Si la fuerza perturbatriz no tiene tercera componente, es decir, si f
está en el plano de la órbita, según (I) y (II) no variarán ni el nodo ni la
inclinación de la órbita.
Para hallar la variación de 
partiremos de la
integral de la energía:
derivando:
de donde:
(13.8)
y recordando
que las componentes de 
en el sistema S,T,R
son (ver 28.3):
y además
sustituyendo
en (13.8) y operando resulta:
Partiendo de y derivando: 
y teniendo en cuenta que 
, sustituyendo:
(14.8)
Despejando
ahora e2 de p = a(1 – e2) y derivando,
obtenemos:
y
sustituyendo a’ por (III) y p’ por (14.8), despejando después e’ se obtiene:
Se puede calcular la variación del elemento orbital 
derivando 
:
De la
tercera de (8.8) y (I) se obtiene
(15.8)
y de derivar
la expresión que nos da el radio vector 
teniendo en cuenta los valores
de e’ y p’ ya obtenidos,
se halla
y poniendo
cos E en función de cos V, utilizando
operando, agrupando
términos y simplificando se obtiene
(16.8)
Sustituyendo (15.8) y (16.8)
en se obtiene finalmente:
De 
derivando, obtenemos
(17.8)
y de 
también derivando,
y
despejando E’:
y
sustituyendo en (17.8):
El
coeficiente de e’ es
que se puede
expresar en función de V recordando que
resultando
y
sustituyendo en M’
y
sustituyendo 
por (IV)
y 
por (III),
agrupando términos y simplificando, obtendremos finalmente:
Las seis fórmulas indicadas por números romanos (del I al VI)
constituyen las llamadas fórmulas de Gauss y dan la variación de los
elementos orbitales al variar en un instante dado la velocidad del secundario a
causa de la fuerza perturbatriz que actúa sobre él. Las aplicaremos al estudio
del movimiento de satélites artificiales.