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6.4 Método de Olbers

En 1797 Olbers publicó un trabajo que tituló “Un ensayo sobre el método más fácil y más conveniente de calcular la órbita de un cometa”. En el transcurso del tiempo se han introducido algunos cambios en el método de Olbers que no afectan a su concepto básico, quedando plenamente justificado el título con el que lo presentó el autor.

Partiendo de tres posiciones de un cuerpo en su órbita, Olbers supone, tal como había hecho Newton, que la cuerda que une las primera y tercera posiciones queda dividida por el radio vector correspondiente a la segunda posición en dos partes que son proporcionales a los intervalos de tiempo entre las observaciones y obtiene una ecuación que liga las distancias geocéntricas de las primera y tercera observación. Otra relación entre ellas la obtiene de la Ecuación de Euler. Una vez halladas las distancias del cuerpo a la Tierra, el cálculo de los elementos orbitales no presenta ninguna dificultad.

6.4.1 Teorema de Lambert para el movimiento elíptico

Sean E₁y E₂las anomalías excéntricas de dos posiciones P₁ y P₂en una órbita elíptica de modo que E₂> E₁ (Fig. 7.6).

Llamemos:

FIG.7.6

Si y son los radios vectores heliocéntricos de P_l y P₂, teniendo en cuenta que

se verificará:

Sea c la longitud de la cuerda que una P₁con P₂. Recordando que si tomamos como ejes de referencia los ejes de la elipse, las coordenadas de un punto de la misma son:

(77.6)

obtendremos para el cuadrado de la distancia entre los puntos P₁(x₁,y₁) y P₂(x₂,y₂)

es decir, aplicando (77.6)

(78.6)

y haciendo:

(79.6)

resulta, agrupando términos en (78.6):

(80.6)

También con este mismo cambio (79.6), es:

(81.6)

Hagamos ahora:

sumando y restando (81.6) y (80.6), obtenemos:

(82.6)

(83.6)

Si t es el tiempo que emplea el cuerpo para pasar de la posición P₁a la P₂, t = t₂- t₁, en virtud de la ecuación de Kepler tendremos:

La relación

(84.6)

se conoce con el nombre de teorema de Lambert y ha sido deducida para el movimiento elíptico.

e y d vienen dadas en función de r₁+ r₂, c y a por las fórmulas (82.6) y (83.6); pero, no están definidas unívocamente. Se demuestra (Plummer, 1960; p.51) que para un arco pequeño basta tomar el menor valor positivo que satisface las ecuaciones (82.6) y (83.6).

6.4.1 Fórmula de Euler

Si el movimiento fuera parabólico, al aplicar (81.6) con , teniendo en cuenta que el primer miembro es finito, el factor debería tender a cero, o lo que es lo mismo, el producto tender a 1. Pero, si , como que los cosenos están comprendidos entre -1 y +1, los dos factores han de tender a 1. Luego, tanto g como j son ángulos muy pequeños y por consiguiente e y d también serían muy pequeños.

Entonces, en virtud de (82.6) y (83.6) tendríamos:

(85.6)

(86.6)

donde , y .

Ahora bien, si en (84.6) reemplazamos n por y desarrollamos en serie y , obtendremos:

(87.6)

y si tenemos en cuenta (85.6) y (86.6), podemos escribir la expresión:

(88.6)

que recibe el nombre de fórmula de Euler y en la que se toma el signo menos si y el signo más si .

6.4.2 Movimiento de cometas

La fórmula de Euler se puede aplicar al estudio del movimiento de cometas; pero, si es , puede ocurrir que c no quede bien determinada. En este caso se recurre a una sencilla modificación.

Supongamos tres posiciones P₁, P₂, P₃, del cometa en su órbita parabólica y sean V₁, V₂, V₃las respectivas anomalías verdaderas.

Si podremos escribir (88.6) en la forma

(89.6)

donde c es ahora la longitud de la cuerda que une las posiciones P₁y P₃.

Despejaremos c de esta ecuación. Para ello, sacando factor común , tendremos:

y haciendo

(90.6)

resultará

(91.6)

A partir de (91.6) podremos hallar el desarrollo de en potencias impares de h. En efecto, supongamos:

y sustituyamos en (90.6). Será:

de donde, identificando, encontramos los coeficientes a₃, a₅, … y el desarrollo de resulta ser:

o también

(92.6)

donde

El valor de g se halla tabulado en función de h . Algunas veces se da directamente el valor de gh en función de h. Otra posibilidad de hallar c es resolver directamente la ecuación (89.6).

Consideremos de nuevo el triángulo determinado por el Sol, la Tierra y el cometa (Fig. 1.6). La órbita se supone plana (movimiento no perturbado) y por consiguiente los vectores de posición heliocéntricos son coplanarios. Se verifica, por tanto:

Dividamos por -c₂y llamemos al vector que obtengamos:

(93.6)

Sea un vector coplanario con y . Multipliquemos (93.6) escalarmente por . Tendremos:

es decir:

de donde

o también, llamando

(94.6)

Por otra parte,

(95.6)

(96.6)

(97.6)

Si suponemos conocido, es conocido M ya que, según Olbers, el factor es igual al cociente entre el tiempo transcurrido entre la segunda y tercera observaciones y el transcurrido entre la primera y la segunda y que , , son datos de observación y en (95.6), (96.6) y (97.6) se conocen todos los coeficientes.

Supongamos que tenemos un primer valor de experimental. Podemos calcular , y c. Por otra parte, podemos calcular h de (90.6) y hallar c con la fórmula (92.6). Los dos valores de c obtenidos por uno y otro método no concuerdan demasiado, dependiendo su diferencia del valor inicial de .

Variando podemos construir una tabla de diferencias como función de . Buscaremos por interpolación cual es el valor que hace Una vez obtenido un valor fiable de hallaremos y y con la fórmulas (94.6), (95.6) y (96.6).