5.4 Efemérides para observaciones físicas

 

            5.4.1 Planetas

 

            Conocidos el eje y el periodo de rotación de un planeta, podemos orientarnos sobre el disco que nos proporciona su imagen telescópica mediante un sistema de coordenadas planetográficas análogas a las geográficas de la Tierra:  longitud planetográfica L, contada a partir de un cierto meridiano origen O en sentido contrario al de la rotación, y latitud planetográfica B.

            Para calcular L y B se introduce un sistema de coordenadas planetocéntricas ecuatoriales: ascensión recta planetocéntrica A, contada a partir del punto vernal V del planeta (nodo ascendente de su órbita con respecto a su ecuador) en el sentido de la rotación, y declinación planetocéntrica D.

            Para la reduc­ción de las ob­servaciones se precisan las coordenadas planetográficas Lo y Bo del centro del disco geométrico del planeta (coordenadas planetográficas de la Tierra T) así como el án­gulo de posición P de su polo norte. Para ob­tenerlos calcularemos las coordenadas planetocéntricas AE y DE de la Tierra.

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                   Sean (Fig. 13.5) AE y DE las coordenadas planetocéntricas de la Tierra T; ao y do la ascensión recta y la declinación geocéntricas del polo norte PQ del planeta y  la ascensión recta planetocéntrica del nodo ascendente N del ecuador Q del planeta sobre el ecuador Q de la Tierra, que pueden considerarse constantes a lo largo del año; a y d la ascensión recta y la declinación geocéntricas del planeta, que figuran día a día en los anuarios. Resolviendo el triángulo esférico definido por las direcciones del polo norte PQ de la Tierra, del polo norte   PQ  del planeta y de la Tierra T vista desde el planeta, tendremos:

                                                                      

                       (38.5)

                                                                      

                                                                     (39.5)

 

                  

                   Si designamos por λ la longitud planetográfica del nodo N en la época t    de las efemérides, dicho argumento viene dado por una relación de la forma

 

                                                                                              (40.5)

 

en la cual λo es el valor de λ para una época    y    la velocidad angular de rotación del planeta (en caso de presentarse rotación diferencial se calculan λ y λo para cada sistema). Luego, si C es la intersección del meridiano central PQT con el ecuador Q del planeta (Fig. 13.5), siendo

 

                                                     

 

una vez calculados  AE -  y  DE   mediante (38.5) y  λ  mediante (40.5), obtendremos, sustituyendo:

 

                                                

 

de donde

                                                                                             (41.5)

 

que son las coordenadas planetográficas del centro del disco geométrico.

               Además (39.5) suministrará el ángulo de posición   P   del polo norte, completando con ello el aspecto geocéntrico del disco aparente del planeta.

Conocidas L0, B0 y P para la época de la observación, es ya inmediata la determinación de las coordenadas planetográficas   L y B   de un punto M de la superficie en función de su distancia angular   ρ   al centro T del disco y de su ángulo de posición   θ,   ambos medidos con el micrómetro (Fig. 14.5). Si s es el semidiámetro aparente del disco, en vista de la pequeñez de   ρ y s,   el ángulo   σ que en el centro del planeta subtienden los radios de   M y T   (ángulo de ρ) viene dado con mu­cha aproximación por

                                                                                                         (42.5)

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Por tanto, conocidos σ y θ del triángulo esférico MTPQ’, se deduce:

 

                             (43.5)

 

 

            5.4.2 Sol

 

Podemos aplicar la teoría desarrollada en el apartado anterior al caso del Sol, para el cual se conocen también su eje y su periodo de rota­ción. Análoga­mente a cuanto hemos hecho, se considera sobre el mismo un sistema de coordenadas heliográficas: longitud  heliográfica L, contada a partir de un cierto meridiano origen O en el sentido de la rotación, y 1atitud heliográfica B.

            Las coordenadas heliográficas Lo y Bo del centro del disco solar y el ángulo de posición  P  de su polo norte se obtienen en función de la longitud geocéntrica  del Sol (que figura día a día en los anuarios) y de la longitud heliográfica λ del nodo ascendente N del ecuador solar sobre la eclíptica:

 

                                                                                              (44.5)

 

 

donde   λo= 0  para t0= 1.5 enero 1854 y =14º.184/día.

 

15

 

 

 

 

 

 

 

           

 

 

 

 

 

 

            Sean (Fig. 15.5)  la longitud heliocéntrica del nodo ascendente N, I la inclinación del ecuador so­lar Q’ sobre la eclíptica E, PE el polo de la eclíptica, PQ el polo del ecuador solar, PQ el polo del ecuador de la Tierra, C la intersección del meridiano central con el ecuador solar, T el centro del disco so­lar y  la oblicuidad de la eclíptica. En el triángulo rectángulo NCT se tiene:

 

                                                                     (45.5)

 

            Además, de los triángulos rectiláteros   PEPQT  y  PEPQT   se deducen los ángulos   p y q   tales que   p + q = P:

                                                                             (46.5)

 

 

Conocidos Lo, Bo y P para la época de la observación, se procede como en el caso de un planeta para determinar las coordenadas heliográficas L y B de una mancha solar M, de coordenadas polares  ρ y θ (Fig. 14.5); como antes, se aplican las fór­mulas (42.5) y (43.5), teniendo en cuenta que cambia de signo la segunda de las (43.5) por contarse las longitudes heliográficas en sentido contrario a las planetográficas.

En particular, al observar una protuberancia en el borde solar es ρ=s y σ=90º, con lo cual las (43.5) se reducen a:

 

                                                                  (47.5)

 

 

 

            5.4.3 Aspecto geocéntrico de la iluminación de un planeta por el Sol

 

            El aspecto geocéntrico de la iluminación de un planeta por el Sol depende del ángulo que hemos llamado ángulo de fase.

16La línea de separación entre el limbo brillante y el limbo oscuro, llamada terminador, se nos presenta como media elipse si despreciamos el achatamiento del planeta. El ángulo formado por los planos del terminador y el disco geométrico es el ángulo de fase F (Fig. 16.5); luego, si recordamos la razón de afinidad existente entre una elipse y su círculo principal, la relación entre las áreas del limbo brillante y del disco geométri­co valdrá

    

                                                   (48.5)

 

 

Dicha relación   k   es la fase del planeta y varía entre 1 y 0 mientras que el ángulo de fase lo hace entre 0º y 180º; para   ½<k<1   es   90º>F>0º   (se ve de ¼ a ½ disco iluminado) y la parte iluminada tiene forma gibosa; para   0<k<½   es   180º>F>90º   (se ve de 0 a ¼ de disco iluminado) y la parte iluminada tiene forma de lúnula; para   k=½   hay dicotomía.

            Según vimos en 5.3.2 si el planeta es superior presenta máximo ángulo de fase en cuyo caso es por (36.5):

                                                        

 

17y por (48.5), teniendo en cuenta que al aumentar F disminuye k, obtendremos un valor de la fase mínima dado por:

 

              (49.5)

 

en el supuesto de órbitas circulares.

            Para completar la de­finición de limbo brillante, además del ángulo de fase F debemos calcular también el ángulo de posición Θ del Sol, que a su vez suministra el ángulo de posición   Θ±90º   de la línea de los cuernos CC’ (Fig. 17.5) y el ángulo de posición  Θ+180º  del defecto de iluminación. En dicho cálculo distinguiremos dos casos, según se conozcan o no el eje y el periodo de rota­ción del planeta.

 

Si se conocen el eje y el periodo de rotación del planeta, el ángulo de fase F y el de posición Θ se obtienen fácilmente calculando el ángulo de posición P del polo norte y las coordenadas planetocéntricas AE y DE de la Tierra y AS y DS del Sol; pues, en efecto, una vez calculados, en el triángulo esférico STPQ (Fig. 17.5b) se tiene:

 

 

                             (50.5)

 

                                                                                                         (51.5)

 

18

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Los primeros, P, AE y DE, se han deducido ya anteriormente mediante las fórmulas (38.5) y (39.5) y las segundas, AS y DS, se deter­minan introduciendo como ángulo auxiliar la longitud planetocéntrica  LS   del Sol, contada a lo largo de la órbita E’ del planeta a partir de su punto vernal V (Fig.18.5). Sean: Ω  e   i   la longitud del nodo ascendente  J  y la inclinación de la órbita E’ del planeta con respecto a la eclíptica E, Ψ la longitud planetocéntrica de dicho nodo, l y l las longitudes heliocéntricas del planeta sobre la eclíptica y sobre la órbita, respectivamente. Se tiene:

                                                         

 

y, por tanto, eliminando u:

                                                                                       (52.5)

 

Siendo  i   pequeño, l suele calcularse en fun­ción de l (que figura en los anuarios) mediante la fórmula:

                                                                                 (53.5)

 

reducción a la órbita análoga a la reducción al ecuador (recordar 4.7.2). Finalmente, conocido LS por (52.5), si llamamos j la oblicuidad de la órbita E con respecto al ecuador Q, del triángulo rectángulo VRS se deducen las coordenadas planetocéntricas del Sol:

                                                                                       (54.5)

 

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si no se conocen el eje y el periodo de rotación del planeta, el ángulo de fase F y el de posición Θ se calculan recurriendo a los siguientes datos que figuran en los anuarios:  longitud geocéntrica del Sol; λ, β coordenadas eclípticas geocéntricas del planeta; l, b          coordenadas eclípticas heliocéntri­cas del planeta; α, δ coordenadas ecuatoriales geocéntricas del Sol; a  ascension recta geocéntrica del planeta. En la esfera geocéntrica de la Fig. 19.5, el triángulo rectilátero PEPS proporciona la elonga­ción E:

                                                                                 (55.5)

            

             Análogamente, siendo  + 180º la longitud he­liocéntrica de la Tierra, en una esfera heliocéntrica se obtendría el ángulo G, Tierra-Sol-Planeta:

                                                                      

                                                                                 (56.5)

 

            Conocidos E y G mediante (55.5) y (56.5), el ángulo de fase vale:

                                                                      

                                                         F = 180º - (E + G)                                    (57.5)

 

            Por último, del triángulo PQPS (Fig. 19.5) se deduce el ángulo de posición del Sol:

 

                                                                                  (58.5)

 

 

 

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